卡尔·萨根 《宇宙》·附录2 毕达哥拉斯学派的五面体
正多边形（多边形的英语在希腊语中是多角体的意思）是一个具有n个等边的二维物体。因此，n＝3时，是一个等边三角形；n＝4时，是一个正方形；n＝5时，是一个五边形如此等等。多面体（希腊语的含义是多边的）是一个三维的物体，组成多面体的各面都是多边形。例如，立方体由六个正方形组成。简单的多面体，或者说正多面体，是没有空洞的。毕达哥拉斯学派和开普勒研究的本质问题是世界上只能有五面体，而且是正五面体。最容易的证明方法是用毕达哥拉斯的后辈笛卡尔和欧拉发现的关系式。该关系式把正多面体的面的个数F，棱的个数E和顶角的个量V联系起来：
V－E＋F＝2 （式1）
所以，立方体有六个面（F＝6）和8个项角（V＝8）；代入式1，得 8－E＋6＝2，即V14-E=2，E=12。式1计算结果立方体有12个边，立方体果然有12个棱。本书文献目录中列出的Courant and Robbins的著作中用简单几何方法证明了式1。根据式1可以证明世界上只能有正五面体。
多面体的任何一个棱均为相邻的两个多边形的边所共有。再以立方体为例，立方体的任何一个棱都是两个正方形的共边界。如果把一个多面体的所有面的所有边（nF）都计算一遍，则每一个棱都要两次计算。因此：
nF＝2E （式2）
以r代表一个顶角的共有边的个数，则在立方体中，r＝3。同理，每一个边都具有两个顶角。如果把所有的顶角（rV）都计算一遍，则每一个顶角也都要计算两次。因此：
rV＝2E（式3）
把式2和式3代入式1，则得：
2E/r-E+2E/n=2
两边都除以2E，则得：
1/n+1/r=1/2+1/E（式4）
已知n等于3或大于3，因为最简单的多边形是具有三条边的三角形。已知r等于3或大于3，因为至少要三个面夹一个顶角才能构成最简单的多面体。若n和r同时都大于3，则式4的式边得数则要小于2/3。这样，只要E是正数，式4则不成立。于是，再根据谬误归约论，则只能出现两种情况，即或者n＝3，r等于或大于3，或者r＝3，n等于或大于3。
若n＝3，式4则变化为（1/3）+（1/r）=（1/2）+（1/E），或下式：
1/r=1/E+1/6（式5）
据此，r只能等于3、4或5。如果r（原文为E。根据上下文，应为r。——译者注）等于或大于6，则式5不成立。于是，n＝3和r＝3是由 3个三角形共有一个项角构成的多面体。根据式5，这个多面体有6个棱；根据式2，这个多面体有4个面；根据式3，这个多面体有4个顶角。显然，这是一个金字塔或四面形。n＝3和r＝4是一个具有8个面的多面体，其中4个三角形共有一个项角，即八面体。而n＝3和r＝5是一个具有20个面的多面体，其中5个三角形共有一个顶角，即20面体（参见本书第53页）。
若r＝3，则式4变化为：
1/n=1/E+1/6 ，
同理可得，r也只能等于3、4或5。若n=3，则又是一个四边形；n=4，则是由六个正方形组成的多面体，即立方体；n＝5，则是由12个五边形组成的多面体，即12面体。
综上所述，除了3、4和5外，n和r不可能是其他整数。因此，世界上只能有正五面体。这就是用抽象而漂亮的数学方式推导出来的结果，而这个结果，正如大家都看到的，对人类社会曾经产生过巨大的影响。